KNN 中各类距离度量的对比与介绍

在 K 近邻算法（KNN）中，距离度量的选择对于算法的性能和结果有着至关重要的影响。不同的距离度量方式能够捕捉到数据之间不同的特征和关系，从而影响 K 个近邻的确定以及最终的分类或预测结果。

欧氏距离是最为常见和直观的一种距离度量方式。它基于空间中两点之间的直线距离计算，对于数值型特征表现良好。其计算公式为：$d(x,y) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - y_i)^2}$ 。然而，欧氏距离对特征的量纲较为敏感，如果特征的量纲不同，可能会导致距离计算的偏差。

曼哈顿距离则是另一种常用的距离度量。它计算的是两点在坐标轴上的绝对距离之和，公式为：$d(x,y) = \sum_{i=1}^{n} |x_i - y_i|$ 。曼哈顿距离在处理具有稀疏性的数据时可能更具优势。

余弦距离主要用于衡量两个向量之间的方向差异，而不关注它们的长度。其计算公式为：$cosine_distance(x,y) = 1 - \frac{x \cdot y}{||x|| \times ||y||}$ 。在处理文本数据或高维向量时，余弦距离能够更好地捕捉向量之间的相似性。

闵可夫斯基距离是一个更广义的距离度量框架，欧氏距离和曼哈顿距离都是其特殊形式。它的公式为：$d(x,y) = (\sum_{i=1}^{n} |x_i - y_i|^p)^{1/p}$ ，通过调整参数 p 的值，可以得到不同的距离度量效果。

在实际应用中，选择合适的距离度量需要考虑数据的特点和问题的需求。例如，如果数据的特征具有不同的量纲，那么在使用欧氏距离之前需要进行标准化处理；对于文本数据，余弦距离通常能够提供更有意义的相似性度量；而在某些特定领域，可能需要根据专业知识和数据分布来选择特定的距离度量。

还可以通过实验和比较不同距离度量在特定数据集上的性能，来确定最适合的距离度量方式。这可以通过交叉验证等技术来实现，以评估不同距离度量对模型准确率、召回率等指标的影响。

深入理解和合理选择 KNN 中的距离度量方式，是提高 KNN 算法性能和应用效果的关键之一。根据具体问题和数据特点，灵活运用不同的距离度量，能够更好地发挥 KNN 算法在分类和预测任务中的作用。